Нека P е силовска p-подгрупа на G. … Ако G е проста, тогава тя има 10 подгрупи от ред 3 и 6 подгрупи от ред 5. Въпреки това, тъй като тези групи са всички циклични от прост ред, всеки нетривиален елемент от G се съдържа в най-много една от тези групи.
Р групи циклични ли са?
Тривиалната група е единствената група от първи ред, а цикличната група C p е единствената група от ред p.
Циклични ли са подгрупите?
Теорема: Всички подгрупи от циклична група са циклични. Ако G=⟨a⟩ е цикличен, то за всеки делител d на |G| съществува точно една подгрупа от ред d, която може да бъде генерирана от a|G|/d a | G | / д. Доказателство: Нека |G|=dn | G |=d n.
Нормални ли са P Sylow подгрупите?
Ако G има точно една силовска p-подгрупа, трябва да е нормално от Уникалната подгрупа на дадена поръчка е нормално. Да предположим, че силовска p-подгрупа P е нормална. Тогава тя се равнява на нейните спрегнати. Така според третата силовска теорема може да има само една такава силовска p-подгрупа.
Абелови ли са силовите P-подгрупи?
Доказваме, че силовските p-подгрупи на крайна група G са абелеви само ако размерите на класовете на p-елементите на G са взаимно прости с p, и, ако p ∈ { 3, 5 }, степента на всеки несводим знак в главния p-блок на G е взаимно проста на p.
