Пълнота на метричното пространство не се запазва от хомеоморфизма.
Какво запазва хомеоморфизмът?
Хомеоморфизмът, наричан още непрекъсната трансформация, е релация на еквивалентност и съответствие едно към едно между точки в две геометрични фигури или топологични пространства, което е непрекъснато и в двете посоки. Хомеоморфизъм, който също запазва разстояния, се нарича изометрия.
Хомеоморфизмът запазва ли компактността?
3.3 Свойства на компактните пространства
По-рано отбелязахме, че компактността е топологично свойство на пространството, тоест се запазва от хомеоморфизъм. Нещо повече, тя се запазва от всяка продължителна функция.
Топологично свойство ли е пълнотата?
Пълнотата не е топологично свойство, т.е. не може да се заключи дали едно метрично пространство е пълно само като се погледне основното топологично пространство.
Защо ограничеността не е топологично свойство?
За метрични пространства имаме понятие за ограниченост: това е метрично пространство е ограничено, ако има някакво реално число M такова, че d(x, y) ≤ M за всички x, y. Ограничеността не е топологично свойство. Например (0, 1) и (1, ∞) са хомеоморфни, но едно е ограничено, а едно не. ∞ n=1 е поредица от точки в X.
