Забележка: вярно е, че всяка ограничена последователност съдържа конвергентна подпоследователност, и освен това всяка монотонна последователност се сближава, ако и само ако е ограничена. Добавено Вижте записа в теоремата за монотонната конвергенция за повече информация относно гарантираната конвергенция на ограничени монотонни последователности.
Всяка ограничена последователност сближава ли се в R?
Теоремата гласи, че всяка ограничена последователност в R има конвергентна подпоследователност. Еквивалентна формулировка е, че подмножество от R е последователно компактен, ако и само ако е затворен и ограничен. Теоремата понякога се нарича теорема за последователната компактност.
Всяка ограничена последователност от реални числа сходна ли е?
Отговор и обяснение: (a) Всяка ограничена последователност сходяща ли е? Не.
Всяка ограничена монотонна последователност сближава ли се?
Не всички ограничени последователности, като (−1)n, конвергират, но ако знаехме, че ограничената последователност е монотонна, тогава това би се променило. ако an ≥ an+1 за всички n ∈ N. Последователността е монотонна, ако се увеличава или намалява. и ограничен, след което се сближава.
Всички ограничени последователности имат ли сходяща подпоследователност?
Теоремата на Болцано-Вайерщрас: Всяка ограничена последователност в Rn има сходяща подпоследователност. на {xmk } е ограничена последователност от реални числа, така че тя също има сходяща подпоследователност, … Обратно, всяка ограничена последователност е взатворено и ограничено множество, така че има сходяща подпоследователност.
