Първата теорема, която Пю доказва, след като дефинира интеграла на Риман, е, че интегрируемостта предполага ограниченост. Това е теорема 15 на страница 155 в моето издание. Това показва, че първо трябва да се споразумеят дефинициите.
Интегрируемостта по Риман предполага ли ограничена?
Теорема 4. Всяка интегрируема функция на Риман е ограничена.
Интегрируеми ли са неограничените функции?
Неограничена функция не е интегрируема по Риман. По-долу „интегрируем” ще означава „интегрируем по Риман, а „интеграл” ще означава „интегрален по Риман”, освен ако изрично не е посочено друго. f(x)={ 1/x, ако 0 < x ≤ 1, 0, ако x=0. така че горните риманови суми на f не са добре дефинирани.
Ограничена ли е интегрируема функция по Лебег?
Измерими функции, които са ограничени са еквивалентни на интегрируемите по Лебег функции. Ако f е ограничена функция, дефинирана върху измеримо множество E с крайна мярка. Тогава f е измеримо, ако и само ако f е интегрируемо по Лебег. … От друга страна, измеримите функции са „почти“непрекъснати.
Как да разберете дали дадена функция е интегрируема по Лебег?
Ако f, g са функции такива, че f=g почти навсякъде, тогава f е интегрируемо по Лебег, ако и само ако g е интегрируемо по Лебег и интегралите на f и g са същите, ако съществуват.
