По принцип точковата конвергенция не означава сближаване в мярка. Въпреки това, за пространство с ограничена мярка, това е вярно и всъщност ще видим в този раздел, че много повече е вярно.
Сближаването почти навсякъде предполага ли сближаване по мярка?
Въпросното пространство за измерване винаги е крайно, тъй като мерките за вероятност приписват вероятност 1 на цялото пространство. В пространство с крайна мярка почти навсякъде сближаването предполага сближаване по мярка. Следователно почти конвергенцията предполага сближаване в вероятност.
Точковата конвергенция предполага ли приемственост?
Въпреки че всяко fn е непрекъснато на [0, 1], тяхната точкова граница f не е (той е прекъснат при 1). По този начин, поточковата конвергенция не запазва непрекъснатостта.
Сближаването в L1 означава ли точкова конвергенция?
Така че точковата конвергенция, равномерната конвергенция и L1 конвергенцията не означават взаимно. Имаме обаче няколко положителни резултата: Теорема 7 Ако fn → f в L1, тогава има подпоследователност fnk такава, че fnk → f точково a.e.
Какво е конвергенция в теорията на мярката?
В математиката, по-конкретно в теорията на мерките, има различни понятия за сближаване на мерките. За интуитивен общ усет какво се има предвид под конвергенция в мярката, разгледайте последователност от мерки μ в пространство, споделяне на обща колекцияот измерими множества.
